Exercices Maths

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Exercices propos´
es par les membres du salon Pr´
epas
Dans tout ce document, n ∈ N
Exercice 1 : (Espaces Vectoriels - Familles de Vecteurs)
Soit pn la suite croissante des nombres premiers. Montrer que la famille ln(pn) est libre dans R comme
un Q - espace vectoriel.
Exercice 2 : (Polynˆ
omes)
Quels sont les polynˆ
omes de C[X] dont l’image est contenue dans R ?
Exercice 3 : (Logique)
Soit A une partie de [[1,2n]] de cardinal n+1. Montrer qu’il existe a et b dans A, tel que a divise b.
Exercice 4 : (S´
eries, Fonctions)
Soit f une bijection de N* dans lui-mˆeme. Quelle est la nature de la s´erie de terme g´en´eral f(n) ?
n2
Exercice 5 : (Suites)
On consid`
ere la suite des deux derniers chiffres de nn. Cette suite est-elle p´
eriodique ? Pourquoi ? Si
oui, de quelle p´
eriode ?
Exercice 6 : (Polynˆ
omes)
Existe t’il un polynˆ
ome P, P ∈ C tel que ∀z ∈ C, P(z) = z ?
Exercice 7 : (Suites)
n−1
1
Quelle est la limite de

quand n → + ∞ ?
n2 − k2
k=1
Exercice 8 : (Probl`
eme)
On prend quatre boules de p´
etanque, de hauteur h. On en dispose trois au sol, touche-touche. On pose
la quatri`
eme boule de p´
etanque sur les trois autres, dans le creux. Quelle est la hauteur de l’´
edifice ?
Exercice 9 : (Probl`
eme)
Sur une plage, deux poteaux sont plant´
es. L’un fait un m`
etre de haut, l’autre 1m50. Entre les deux,
il y a un fil. Sur le fil, il y a une serviette pli´
ee, qui forme ainsi un triangle, dont le dernier sommet
touche le sable de la plage. Quelle est la distance entre les deux poteaux ?
1

Exercice 10 : (Familles de vecteurs)
Montrer que la famille A d´
efinie par A = { t→ ekt, t ∈ R est libre. }
Exercice 11 : (4fun)
Combien y-a-t’il de positions finales nulles au tic-tac-toe en dimension n ?
Exercice 12 : (4fun)
Lors d’une ´
election entre deux candidats, le candidat A gagne. Quelle est la probabilit´
e qu’il ait ´
et´
e
en tˆ
ete lors de tout le d´
epouillement ?
Exercice 13 : (4fun)
Imaginons que vous jouez `
a pile ou face avec un ami. Quelle est la probabilit´
e, au n-i`
eme tour, que la
partie se retourne `
a votre avantage ?
Exercice 14 : (Groupes)
Soit (G, ) un groupe tel que ∀x ∈ G, x3 = x. Montrer que ce groupe est ab´
elien.
Exercice 15 :
Soit f continue de [[0,1]] ×[[0,1]] dans lui-mˆ
eme. Montrer que f admet un point fixe.
Exercice 16 :
Soit n ∈ N, et x ∈ R. Montrez que sin(nx)
n sin(x).
Exercice 17 :
Soit x1,...,xn des r´eels. Montrer que (x1+x2+...+xn)2
n×(x1+x2+...+xn)2.
Exercice 18 :
n
1
Quelle est la limite de
avec k qui ne doit pas contenir de 9 dans son ´
ecriture d´
ecimale ?
k
k=1
Exercice 19 :
Soit A ∈ Mp,q(R), et B ∈ Mq,p(R), que peut-on dire de det(A×B)×det(B×A) ?
2