math

Text-only Preview

Matematika III
A
Jm´
eno:
12. ledna 2011
(U ˇ
CO:
)
Semestr
1.
2.
3.
4.
Na kaˇzd´
y pˇr´ıklad z´ısk´ate nez´
aporn´
y poˇcet bod˚
u.
Potˇrebn´e minimum (vˇcetnˇe semestru) je 20 bod˚
u.
Na pr´
aci m´
ate 90 minut.


r´ıklady:
1. (5 bod˚
u) Uvaˇzte funkci f (x, y) = x2y2 − x.
(a) Zapiˇste diferenci´al df (jako funkci dx, dy) v bodˇe [2, 1].
(b) Zapiˇste rovnici teˇcn´e roviny ke grafu funkce f v bodˇe [2, 1, ?].
(c) Pomoc´ı line´arn´ı aproximace odhadnˇete hodnotu f (1,9; 1,1).
(d) Urˇcete smˇerovou derivaci f v bodˇe [2, 1] ve smˇeru vektoru (−1, 1).
(e) Uved’te pˇr´ıklad funkce g(x, y) spojit´e na R2 takov´e, ˇze funkce f(x,y) nen´ı v bodˇe [2, 1]
g(x,y)
spojit´a (nebo dokaˇzte, ˇze neexistuje).
2. (6 bod˚
u)
(a) Urˇcete hmotnost tˇelesa, kter´e je tvoˇreno ˇc´ast´ı mezikruˇz´ı 1 < x2 + y2 < 9 leˇz´ıc´ı v horn´ı
polorovinˇe (y ≥ 0), je-li hustota ρ =
y
.
x2+y2
(b) Urˇcete souˇradnice tˇeˇziˇstˇe tohoto tˇelesa.
3. (5 bod˚
u) Pomoc´ı Ford-Fulkersonova algoritmu (prohled´av´an´ı do hloubky, vrcholy volte vze-
stupnˇe podle ˇc´ısel) naleznˇete maxim´aln´ı tok v s´ıti na obr´azku se zdrojem 1 a stokem 9
(existuj´ıc´ı tok a kapacita hrany jsou zn´azornˇeny ve tvaru f /c, pˇr´ıp. pouze c, je-li tok aktu´alnˇe
nulov´y). Naleznˇete minim´aln´ıˇrez v t´eto s´ıti. Jednotliv´e kroky sv´eho postupu podrobnˇe zapiˇstˇe
(d˚
uslednˇe v poˇrad´ı, v jak´em je vykon´av´ate).
2
3
4
1/6
7
2/5
1/3
6
2
4/4
2/5
1
4/6
3
4
5
5
8
3/3
3
4
6
1/9
6
5
9
4. (4 body)
(a) Rozhodnˇete, pro kter´a pˇrirozen´a ˇc´ısla n existuje graf se sk´ore 1, 5, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 11, 11, n
(tato posloupnost nemus´ı b´yt uspoˇr´adan´a, tj. nemus´ı b´yt n ≥ 11).
(b) Uved’te pˇr´ıklad (nebo zd˚
uvodnˇete, ˇze neexistuje) ohodnocen´eho grafu na tˇrech vrcholech,
na nˇemˇz d´a Dijkstr˚
uv algoritmus chybn´y v´ysledek.
(c) Uved’te pˇr´ıklad (nebo zd˚
uvodnˇete, ˇze neexistuje) grafu na 4 vrcholech, kter´y nen´ı ro-
vinn´y.
(d) Urˇcete poˇcet hran ´
upln´eho grafu na 10 vrcholech.

Matematika III
B
Jm´
eno:
12. ledna 2011
(U ˇ
CO:
)
Semestr
1.
2.
3.
4.
Na kaˇzd´
y pˇr´ıklad z´ısk´ate nez´
aporn´
y poˇcet bod˚
u.
Potˇrebn´e minimum (vˇcetnˇe semestru) je 20 bod˚
u.
Na pr´
aci m´
ate 90 minut.


r´ıklady:
1. (5 bod˚
u) Krabice ve tvaru kv´adru je um´ıstˇena v prvn´ım oktantu (x, y, z ≥ 0) tak, ˇze jeden
vrchol je um´ıstˇen v poˇc´atku a s n´ım incidentn´ı stˇeny leˇz´ı v souˇradn´ych rovin´ach. Protˇejˇs´ı
vrchol V = [x, y, z] pak mus´ı leˇzet na paraboloidu x2 + y2 + z = 1.
(a) Zapiˇste vztah pro objem f (x, y) kv´adru v z´avislosti na x, y.
(b) Naleznˇete maximum f pro hodnoty x, y, z v pˇr´ıpustn´em oboru (nezapomeˇ
nte zd˚
uvodnit,
ˇ
ze jde skuteˇcnˇe o glob´aln´ı maximum).
2. (6 bod˚
u) Uvaˇzujte oblast M v 1. kvadrantu omezenou grafy funkc´ı y = x2 , y = 2x2, xy = 3 a
6
xy = 6.
(a) Vypoˇctˇete Jacobi´an transformace u = x2/y, v = xy a vyj´adˇrete dx dy pomoc´ı du dv.
(b) Vypoˇctˇete obsah oblasti M pomoc´ı integrace v souˇradnic´ıch uv (tedy po v´yˇse uveden´e
transformaci).
(c) V´ysledek z ˇc´asti b) vyj´adˇrete jako lin´arn´ı kombinaci prvk˚
u mnoˇziny {ln n; n ∈ N} s
celoˇc´ıseln´ymi koeficienty.
3. (5 bod˚
u) Pomoc´ı Edmonds-Karpova algoritmu (prohled´av´an´ı do ˇs´ıˇrky, vrcholy volte vzestupnˇe
podle ˇc´ısel) naleznˇete maxim´aln´ı tok v s´ıti na obr´azku se zdrojem 1 a stokem 9 (existuj´ıc´ı tok
a kapacita hrany jsou zn´azornˇeny ve tvaru f /c, pˇr´ıp. pouze c, je-li tok aktu´alnˇe nulov´y). Na-
leznˇete minim´aln´ı ˇrez v t´eto s´ıti. Jednotliv´e kroky sv´eho postupu podrobnˇe zapiˇstˇe (d˚
uslednˇe
v poˇrad´ı, v jak´em je vykon´av´ate).
2
3
4
6
7
3/5 3
6
2
3/4
3/5
1
6/6
3
3/4
5
5
8
3/3
3/3
4
6
9
6
5
9
4. (4 body)
(a) Rozhodnˇete, pro kter´a n ∈ N existuje graf se sk´ore 0, 1, 2, . . . , n − 2, n − 1.
(b) Uved’te pˇr´ıklad (nebo zd˚
uvodnˇete, ˇze neexistuje) nerovinn´eho grafu, kter´y neobsahuje
kruˇznici.
(c) Uved’te pˇr´ıklad (nebo zd˚
uvodnˇete, ˇze neexistuje) hamiltonovsk´eho rovinn´eho grafu, kter´y
nen´ı eulerovsk´y.
(d) Urˇcete poˇcet koster ´
upln´eho grafu na 4 vrcholech.

Matematika III
C
Jm´
eno:
12. ledna 2011
(U ˇ
CO:
)
Semestr
1.
2.
3.
4.
Na kaˇzd´
y pˇr´ıklad z´ısk´ate nez´
aporn´
y poˇcet bod˚
u.
Potˇrebn´e minimum (vˇcetnˇe semestru) je 20 bod˚
u.
Na pr´
aci m´
ate 90 minut.


r´ıklady:
1. (5 bod˚
u) Uvaˇzte funkci f (x, y) = x2y2−x.
2y−1
(a) Zapiˇste diferenci´al df (jako funkci dx, dy) v bodˇe [2, 1].
(b) Zapiˇste rovnici teˇcn´e roviny ke grafu funkce f v bodˇe [2, 1, ?].
(c) Pomoc´ı line´arn´ı aproximace odhadnˇete hodnotu f (2,1; 0,8).
(d) Urˇcete smˇerovou derivaci f v bodˇe [2, 1] ve smˇeru vektoru (1, −1).
(e) Uved’te pˇr´ıklad funkce g(x, y) takov´e, ˇze funkce f (x, y) · g(x, y) je spojit´a na cel´em R2
(nebo dokaˇzte, ˇze neexistuje).
2. (6 bod˚
u) Uvaˇzujte oblast M v 1. kvadrantu omezenou grafy funkc´ı y = x2 , y = 4x2, xy = 2 a
3
xy = 5.
(a) Vypoˇctˇete Jacobi´an transformace u = x2/y, v = xy a vyj´adˇrete dx dy pomoc´ı du dv.
(b) Vypoˇctˇete obsah oblasti M pomoc´ı integrace v souˇradnic´ıch uv (tedy po v´yˇse uveden´e
transformaci).
(c) V´ysledek z ˇc´asti b) vyj´adˇrete jako lin´arn´ı kombinaci prvk˚
u mnoˇziny {ln n; n ∈ N} s
celoˇc´ıseln´ymi koeficienty.
3. (5 bod˚
u) Pomoc´ı Edmonds-Karpova algoritmu (prohled´av´an´ı do ˇs´ıˇrky, vrcholy volte vzestupnˇe
podle ˇc´ısel) naleznˇete maxim´aln´ı tok v s´ıti na obr´azku se zdrojem 1 a stokem 9 (existuj´ıc´ı tok
a kapacita hrany jsou zn´azornˇeny ve tvaru f /c, pˇr´ıp. pouze c, je-li tok aktu´alnˇe nulov´y). Na-
leznˇete minim´aln´ı ˇrez v t´eto s´ıti. Jednotliv´e kroky sv´eho postupu podrobnˇe zapiˇstˇe (d˚
uslednˇe
v poˇrad´ı, v jak´em je vykon´av´ate).
2
3
4
6
7
3/5
3
8
5
3/5
3/5
1
6/6
3
3/4
5
5
8
3/3
3/3
4
6
6
6
8
9
4. (4 body)
(a) Rozhodnˇete, pro kter´a n ∈ N existuje graf se sk´ore 1, 2, 3, . . . , n − 1, n.
(b) Uved’te pˇr´ıklad (nebo zd˚
uvodnˇete, ˇze neexistuje) souvisl´eho ohodnocen´eho grafu (hrany
ohodnoceny r˚
uzn´ymi pˇrirozen´ymi ˇc´ısly), takov´eho, ˇze hrana ohodnocen´a ˇc´ıslem 4 patˇr´ı
do jeho minim´aln´ı kostry, zat´ımco hrana ohodnocen´a ˇc´ıslem 3 tam nepatˇr´ı.
(c) Dokaˇzte, ˇze K5 nen´ı rovinn´y (bez pouˇzit´ı Kuratowsk´eho vˇety).
(d) Urˇcete, pro kter´a n ∈ N je Kn,n−1 eulerovsk´y.

Matematika III
D
Jm´
eno:
12. ledna 2011
(U ˇ
CO:
)
Semestr
1.
2.
3.
4.
Na kaˇzd´
y pˇr´ıklad z´ısk´ate nez´
aporn´
y poˇcet bod˚
u.
Potˇrebn´e minimum (vˇcetnˇe semestru) je 20 bod˚
u.
Na pr´
aci m´
ate 90 minut.


r´ıklady:
1. (5 bod˚
u) Krabice ve tvaru kv´adru je um´ıstˇena v prvn´ım oktantu (x, y, z ≥ 0) tak, ˇze jeden
vrchol je um´ıstˇen v poˇc´atku a s n´ım incidentn´ı stˇeny leˇz´ı v souˇradn´ych rovin´ach. Protˇejˇs´ı
vrchol V = [x, y, z] pak mus´ı leˇzet na ploˇse o rovnici 3x2 + 2y2 + z = 1.
(a) Zapiˇste vztah pro objem f (x, y) kv´adru v z´avislosti na x, y.
(b) Naleznˇete maximum f pro hodnoty x, y, z v pˇr´ıpustn´em oboru (nezapomeˇ
nte zd˚
uvodnit,
ˇ
ze jde skuteˇcnˇe o glob´aln´ı maximum).
2. (6 bod˚
u)
(a) Urˇcete hmotnost tˇelesa, kter´e je tvoˇreno ˇc´ast´ı mezikruˇz´ı 1 < x2 + y2 < 16 leˇz´ıc´ı v polo-
rovinˇe x ≥ 0, je-li hustota v bodˇe [x, y] rovna
x
.
x2+y2
(b) Urˇcete souˇradnice tˇeˇziˇstˇe tohoto tˇelesa.
3. (5 bod˚
u) Pomoc´ı Ford-Fulkersonova algoritmu (prohled´av´an´ı do hloubky, vrcholy volte vze-
stupnˇe podle ˇc´ısel) naleznˇete maxim´aln´ı tok v s´ıti na obr´azku se zdrojem 1 a stokem 9
(existuj´ıc´ı tok a kapacita hrany jsou zn´azornˇeny ve tvaru f /c, pˇr´ıp. pouze c, je-li tok aktu´alnˇe
nulov´y). Naleznˇete minim´aln´ıˇrez v t´eto s´ıti. Jednotliv´e kroky sv´eho postupu podrobnˇe zapiˇstˇe
(d˚
uslednˇe v poˇrad´ı, v jak´em je vykon´av´ate).
2
3
4
5/6
7
5/5
3
6
2
4
5/5
1
6
3
4
5
5
8
3
3
4
6
9
6
5
9
4. (4 body)
(a) Rozhodnˇete, pro kter´a pˇrirozen´a ˇc´ısla n existuje graf se sk´ore 1, 2, 2, 2, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, n
(tato posloupnost nemus´ı b´yt uspoˇr´adan´a, tj. nemus´ı b´yt n ≥ 11).
(b) Uved’te pˇr´ıklad (nebo zd˚
uvodnˇete, ˇze neexistuje) ohodnocen´eho grafu na tˇrech vrcholech,
na nˇemˇz se Dijkstr˚
uv algoritmus zacykl´ı.
(c) Uved’te pˇr´ıklad (nebo zd˚
uvodnˇete, ˇze neexistuje) souvisl´eho ohodnocen´eho grafu (hrany
ohodnoceny r˚
uzn´ymi pˇrirozen´ymi ˇc´ısly), takov´eho, ˇze |E| ≥ |V | a ˇze hrana ohodnocen´a
nejvyˇsˇs´ım ˇc´ıslem patˇr´ı do jeho minim´aln´ı kostry.
(d) Dokaˇzte, ˇze K3,3 nen´ı rovinn´y (bez pouˇzit´ı Kuratowsk´eho vˇety).