pdf

Text-only Preview

Zusammenfassung und Beispiellösungen
zur Linearen Algebra
Inhaltsverzeichnis
TI­Taschenrechner Funktionen für Matrizen...........1
Ableiten D...............................................................6
n*m Matrix...............................................................2
Integration I.............................................................7
Diagonal­ und Dreiecksmatrix.................................2
Eigenwert und Eigenvektor.....................................7
Transponierte der Matrix A (AT)..............................2
Spur........................................................................8
Rang........................................................................2
Lösungsmenge.......................................................8
Matrix*Matrix bzw. Matrix*Vektor............................2
Matrix anwenden auf Vektor...................................8
Inverse Matrix.........................................................3
Determinante 0 werden lassen...............................8
Singulär, regulär......................................................3
Transformationsmatrix und Komponenten 
Homogen, Inhomogene Gleichungssysteme..........3
bestimmen..............................................................9
Eigenschaften der Determinante............................3
Polynome................................................................9
Berechnung der Determinante................................4
Transformationsmatrix, Standardbasis...................9
Determinanten Berechnung mit Minoren 
Abbildung..............................................................10
(Laplacescher Entwicklungssatz)...........................4
Eigenwerte, Eigenvektoren, Drehmatrix................10
Vektorräume und lineare Abbildungen....................4
Eigenwerte, Eigenvektoren, Drehwinkel................11
Orthogonale Matrizen, Drehmatrizen.....................5
Basis, Diagonal.....................................................11
TI­Taschenrechner Funktionen für Matrizen
Matrix
[[1,2][3,4]] oder 
Inverse Matrix A­1 
A^­1
[1,2;3,4]
Determinatnte
det(A)
Transponierte von A Katalog   „t“ 

 hoch

gestellte T
Eigenwert
eigvl(A)
Char. Polynom
charpoly(A)
Eigenvektoren
eigvc(A)
Spur
trace(A)
Letzte Änderung:
11.08.10
Ergänzung zu: Drehmatrizen; Determinanten Eigenschaften
14.08.10
Fehler korrigiert
Du darfst diese Formelsammlung gern erweitern, frisieren, korrigieren ect. Die Originaldatei ist bei mir als odt erhältlich. Veränderte Versionen sol ten wiederum veröffentlicht werden. Fehler 
bitte an [email protected] melden. Cheers!
[email protected]
1/11

n*m Matrix
n ­ Zeilen
a
a
m ­ Spalten
A=a11 12 13
a
a
a
21
22
23
Diagonal­ und Dreiecksmatrix
Diagonal­
matrix

3 0 0
0 5 0 Alle Elemente, ausser jene der Diagonalen sind 0.
0 0 9
Dreiecks­
matrix

3 0 0
9
5
0  Oberhalb oder unterhalb der Diagonalen sind ale Elemente 0.
5 −2 9
Transponierte der Matrix A (AT)
AT
A= 3 9 5
−1 5 −2→AT=3 −1 7
9
5
6 Spiegelung an ihrer Diagonalen (3,5,9).
7
6
9
5 −2 9
Rang
Der Rang ist die Anzahl der nicht linearabhängigen Zeilen. Sie ist identisch mit der max. 
Anzahl linear unabhängigen Spalten:
[1 0 0
0 1 0∣59] → Rang 2; wenn x ≠ 0, dann gibt es keine Lösung zum Gleichungssystem
0 0 0 x
Matrix*Matrix bzw. Matrix*Vektor
1 25 6=1⋅52⋅7 1⋅62⋅8=19 22
3 4 7 8
3⋅54⋅7 3⋅64⋅8
43 50
1 2 3
4 5 645=1⋅42⋅53⋅6
4⋅45⋅36⋅6= 3277 
7 8 9 6
7⋅48⋅59⋅6
122
Linearkom­
binationen
a a a
11
12
13 b1b=b
a
a
a
2
1a11
a b2a12
a b3a13
a
21
22
2
b
21
22
23
3

Vektoren
Faktoren
[email protected]
2/11

Inverse Matrix
AE EA⁻1 : 1 2∣1 01 0∣−2 1 
3 4 0 1
0 1 3
−1
4
2

es gilt weiter: AA­1=E

nicht jede Matrix ist invertierbar

Wenn A invertierbar ist, ist A auch regulär!
Singulär, regulär
singulär
A ist singulär, wenn mind. ein Punkt erfül t ist:

A­1 existiert nicht

det(A) = 0

nicht eindeutig lösbar (keine oder unendlich viele Lösungen)
regulär
A ist regulär, wenn mind. ein Punkt erfül t ist:

A­1 existiert

det(A) ≠ 0

eindeutig lösbar (genau eine Lösung)
Homogen, Inhomogene Gleichungssysteme
Ax = b, mit b ≠ 0 heisst inhomogen
Ax = 0 heisst homogen
Eigenschaften der Determinante
+/­
1) det(A) ändert sich nicht, beim addieren des vielfachen einer Zeile zu einer anderen.
Zeile* λ
2) Wird eine Zeile mit λ multipliziert, wird det(A) mit    
λ multipliziert.
Bsp: Der einfachheitshalber wird eine Dreiecksmatrix verwendet. Das gilt aber auch 
al gemein! Zeile 1 und 2 wurden mit einer Zahl multipliziert.
det A=∣1⋅3 1⋅5 1⋅−2

∣=3⋅8⋅4
2⋅0
2⋅8
2⋅1
1
2
0
0
4
det(E) = 1
3) det(E) = 1
Nullzeile 
4) Enthält A eine Nul zeile, dann ist det(A) = 0.
zwei gleiche 
5) Enthält A zwei gleiche Zeilen, dann ist det(A) = 0.   
→ Verwenden mit Eigenschaft 1!
Zeilen
∣1 4 1
8 3 3∣=0 Zeile 3 kann zu einer Nulzeile gemacht werden   →det(A) = 0
1 4 1
Vertauschen
6) Vertauscht man zwei Zeilen, dann ändert sich das Vorzeichen von det(A).
Original: ∣1 4 1
8 3 3∣=−233       1 mal vertauscht: ∣8 3 3
1 4 1∣=233
2 2 9
2 2 9
[email protected]
3/11

2 mal vertauscht: ∣8 3 3
2 2 9∣=−233
1 4 1
det(A) = 
7) Der Wert der Determinante ändert sich nicht, wenn Zeilen und Spalten miteinander 
det(AT)
vertauscht werden: det(A) = det(AT)
A­1
1
8)
det A−1= detA
Berechnung der Determinante
2x2 und 3x3
a b∣=abbc a b c
d e
f ∣=aeidhcgbf cegfhaibd
c d
g h
i
Diagonal­ 
matrix
a b c
0 e
f∣=aei
0 0
i
Reduzieren 
der Matrix

∣1 4 3 2
2
1
−1 −1∣=∣1 4 3 2
0 −7 −7 −5∣=1⋅∣−7 −7 −5
14
11
4 ∣=1⋅78 bzw.
−3
2
2
−2
0 14
11
4
−1 −1
3
−1 −5 −4
1
0 −1 −1
3
26
1⋅∣−7 −7 −5
0
−3 −6∣=1⋅−7⋅∣−3 −626∣=−7⋅−3⋅ =3⋅26=78
26
0
0
0
7
7
7
Determinanten Berechnung mit Minoren (Laplacescher Entwicklungssatz)
Schachbrettregel:
Von A wird immer die i­te Zeile und j­te Spalte gestrichen. Vorzeichen nach 
Der Vorzeichenfaktor von Ai j 
der Schachbrettregel
steht im Schnittpunkt der i­ten 
a
a
12
13
Zeile mit der j­ten Spalte. 
a
a
a
det A=∣a11a a a ∣=a
23∣−a
13∣a
13∣
21
22
23
11∣a22
a
a
21∣a12
a
a
31∣a12
a
a
a
a
a
32
33
32
33
22
23
31
32
33
D=∣1 2 0 −1
4 0 −3
2 ∣=a A A A A
9 0
0
4
31
 31a32
 32a33
 33a34
 34=9A314A34
8 1
3
1
=9
= 0
= 0
= 4
Vorzeichen der Unterdeterminanten durch Schachbrettregel!
A


31=∣2 0 −1
0 −3
2 =−21
A34=−∣1 2 0
4 0 −3 =69
D=9⋅−214⋅69=87
1
3
1
8 1
3
Vektorräume und lineare Abbildungen
Basis
Definition: Sei V ein Vektorraum. Eine Menge  B={b ,b ,...}
1
2
 linear unabhängiger 
Vektoren heisst eine Basis, wenn jeder Vektor von V als Linearkombination von Vektoren 
[email protected]
4/11

aus B dargestel t werden kann.
Mit anderen Worten: Im Raum R3 kann jeder Vektor durch eine Linearkombination der drei 
Einheitsbasisvektoren abgebildet werden.
Nun gibt es auch andere Vektoren, durch die jeder Vektor im R3 Raum abgebildet werden 
kann. Diese Vektoren heissen „Basis“. Basisvektoren müssen linear unabhängig sein.
Polynome
Polynome vom Grad n
Die Menge {1,x,x²,...} ist offenbar eine Basis von R[x] den jedes Polynom lässt sich auf 
eindeutige Art als Linearkombination dieser elementaren Polynome schreiben. (siehe Bsp.)
Funktionen
Funktionen aus R
Funktionen wie sin(wx) und cos(wx) bilden keine Basis.
Basistrans­
'
formation
Aufgabe: finde  v=1 mit   b ' b '=v , sowie  v'=1  .

1 1
2 2
'
Beispiel:
2
2
gegeben: e
'
'
1=1 und e
 sowie b =1 und b = 12 
0
2=01
1
0
2
3
2
1) Transformationsmatrix finden:  T =a b
c d
e =ab ' bb '
e =1⋅b ' 0⋅b '
1
1
2
 

1
1
2
T = 1 0 
e
'
'
e = −1 ⋅b '  2 ⋅b '
−1
2
2=cb 1 db 2
2
3
1
3
2
3
3
b ' =he ie
analog für  T '=h i  :  1
1
2
 
T '=1 0 
j k
b '
1
3
1 = je1ke2
2
2
Kontrol e: T und T' sind zueinander invers: TT' = E
2)
' berechnen:
 '1=TT1=1 −131  →mit   = =1

1
2
damit  v=1
'

0
2

1
2
2
3
2
1 −131
'
=1− 13=1 =0,42=v'
0
2
1
2
'
1 ,15
3
3
2
Orthogonale Matrizen, Drehmatrizen
Bedingung
Die Matrix A ist eine Drehmatrix, wenn sie beide folgenden Bedingungen erfül t:

det A=1 (!)

AAT=E bzw.  AT= A−1
Eine Drehmatrix ist orthogonal.
Bsp:
Berechne alle 

A=a bAT A
a b

c d
=a c
= a2c2 abcd
b d c d
orthogonalen 
abcd
b2d2
2x2 Matrizen.
 
→ diese Bedingung erfül t die 2­dim. Drehmatrix:
= 1
= 0
a2c2 abcd
cos −sin sin   cos

=
cos2 sin2 


abcd
b2d2
cos −sin sin  cos

−sin 2cos2 

= 0
= 1
[email protected]
5/11

2­dim. 
Drehmatrix
A=cos −sin Drehwinkel  positiv im Gegenuhrzeigersinn!
sin  
cos
Bsp.
v=1 um 45° im Uhrzeigersinn drehen. D.h. =− . Erwartet wird  v'=2 .
1
4
0
2
2
2
2

 −sin−

  2
Av=cos−4
4
1=22 2=2=v'
sin  − 
cos −  1
−2
0
4

4

  2
2
2
−2
2
2
2
3­dim. 
Drehmatrix
3­dim. Drehmatrix um X­Achse:  X =1 0
0
0 cos  −sin 
0 sin  
cos
3­dim. Drehmatrix um Y­Achse:  Y = cos 0 sin
0
1
0

−sin   0 cos 
3­dim. Drehmatrix um Z­Achse:  Z =cos −sin 0
sin  
cos
0
0
0
1
Ableiten D
Polynom vom 
Grad n   

→ n+1 
dim. 
D

Spaltenvektor:
a
x

xn →
=0 1 0 0 0 0
0 0 2 0 0 0
0 0 0 3 0 0
0a 1
a2 ...an
 a0a1 1→e1
x → e
...
2
0 0 0 0 ⋱ 0
Ausgangspolygon Grad = n
a
xn→ en−1
n
0 0 0 0 0 n

n1 Spalten
D ist eine n*(n+1) Matrix!
Bsp.
Die Ableitungsmatrix ist eine n*(n+1) Matrix, sie hat also eine Spalte mehr als Zeilen.
gegeben: f(x) Die Anzahl Zeilen ist gleich dem Grad des Abzuleitenden Polygons.
gesucht: f'
Bsp. Polynom 4 Grades; n=4, 4 Zeilen, 5 Spalten.
n = 2
f x = x2−4x−7
→v=−7
−4→D=0 1 0→Dv=
0 0 2
0−40=−4→ f '=2x−4

002
2
Grad 2; n=2
1
3Spalten
[email protected]
6/11

Integration I
Polynom vom 
Grad n   

→ n+1 
dim. 
Spaltenvektor:

0 0 0 0
a
x

xn−1
0 0 1 0 0 0
3
0a1
a2 ...an−1
  a0a1  I=0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 12
...
0 0 0 1
0 0
Ausgangsfunktion Grad = n-1
4
an−1
0 0 0 0 ⋱ 0
0 0 0 0 0
1
n

n Spalten
Bsp.
Die Integrationsmatrix I ist eine (n+1)*n Matrix, wobei n= [Grad des Polynoms] +1!
gegeben: f(x) Sie hat also eine Zeile mehr als Spalten.
gesucht: int(f) Bsp. Polynom 4 Grades; n=5, 6 Zeilen, 5 Spalten.
f x = x2−4x−7
→ v=−7
−4→I=0 0 0
1 0 0
0 1 0→Dv= 000
−700
x3
0
=0−7f=1 −2x2−7x
3
2
−20
−2
Grad 2; n=3
1
0 0 1
00 1
1
3

3
3
3Spalten
Eigenwert und Eigenvektor
Basisvektoren sind al e Eigenvektoren.
0
0
Die Diagonalmatrix diag  , ... ,
,...,
1
n=10 ... 0 hat die Eigenwerte  
1
n
, die 
0
0 n
Einheitsvektoren ei sind Eigenvektoren zum Eigenwert λi.
Lösungsverfahren für Eigenwert­Problem
1) Charakteristische Gleichung: χA(λ) ausrechnen
2) Nul stel en λi von χA(λ)
3) Für jedes (A – λiE)veig=0 lösen
Bsp: Finde Eigenwerte und Eigenvektoren zu A=1 1 .
0 1
1)


A  =det A− E =∣1−
1 =1−2=2−21
0
1−
2)

=1
1 , 2
(doppelte NS)
3)
A− E=0 10 1
y=0∣→v =
0 0
0 0  x =0 ∣ 0x y=0
1
y
0x0y=0
0=0
eig
0
Eigenvektoren sind nur bis auf ein vielfaches bestimmt. Weitere Eigenvektoren 
wären z.B.: veig2=2 ,v
,ect.
0
eig3=−55
0
[email protected]
7/11

Spur
Allgemein
Die Summe der Diagonalelemente einer n*n­Matrix wird als Spur bezeichnet. Es gilt:
tr(AT) = tr(A)
Spur einer 
tr A
2dim.­
tr A=tr  cos −sin =2cos=arccos

sin
2
Drehmatrix
 
cos
Spur einer 
3dim.­
tr A−1
tr

Drehmatrix
A =tr  1 0
0
0 cos −sin  =12cos=arccos

2
0 sin  
cos
Beispielsammlung:
Lösungsmenge
Ü1,3. 
Das folgende Gleichungssystem ist unterbestimmt, beschreiben Sie die Lösungsmenge!
Lösung:
x2y−4z=7∣Gauss...[1 0 −811∣5111]→L={x,y,z∣x=51 8 z,y=1318z}
3x−5y6z=8
0 1 −18 13
11
11
11
11
11
11
Matrix anwenden auf Vektor
Ü2,3. 
Wenden sie die Matrix A zweimal auf den Vektor u an!
Lösung
AAv= AAv= AAv = A2 v
Determinante 0 werden lassen
Ü3,2. 
Für welche Werte von   
λ verschwindet die Determinante det(A­  E) 
λ
für die (diagonal­) Matrix 
A? Ist A regulär?
Lösung
A=1 2 3 4
0 2 3 4→detA−E=01−2−3−4−→L={1,2,3,4}
0 0 3 4
0 0 0 4
det A≠0 A ist regulär.
[email protected]
8/11

Transformationsmatrix und Komponenten bestimmen
Ü4,2. 
 12 ,−1
Im Vektorraum R2 sol  die Basis
31
0
verwendet werden. Bestimmen Sie die 
2
Tansformationsmatrix A. Welche Komponenten hat der Vektor  v= −12  in dieser 
31
2
Basis?
Lösung
v sol  als Linearkombination der Basis abgebildet werden.
b−10
A=a be1=a 12312 ∣→A  −12 =k k →k
c d
31
1 12
31
2 −1
0
1=k2=1
e
2
2
2=c  12 d

−1
31
0
2
Polynome
Ü4,3a. 
Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig und bilden sie eine Basis?
Die Polynome 1 , x , 1 3x2−1 , 1 5x3−3x im Vektorraum der Polynome vom Grad 3.
2
2
Idee
Sie bilden eine Basis, wenn sich die „Grundbauklötze“ ( 1 , x , x2 , x3 ) des Vektorraums 
der Polynome durch die gegebenen Polynome darstel en lassen können.
Lösung
p0=1

1= p0
p1= x

x= p1
Die Polynome bilden also eine Basis.
p
p
p
2= 1 3x 2−1 
→ x2= 2
2
3
2 13
0
p
p
p
3= 1 5x 3−3x 
→ x3= 2
2
5
3 35
1
Transformationsmatrix, Standardbasis
Ü5,1.
Bestimmen Sie die Matrix A einer linearen Abbildung, die die Vektoren der 
Standartbasis {e ,e , e }
' =1,v '= 1 ,v '=2
1
2
3
auf die Vektoren v1
1
2
0
3
1 abbildet. 
3
−1
1
Welche Vektoren v ,v ,v
1
2
3
werden von der Matrix A auf die Vektoren der 
Standardbasis abgebildet?
Lösung
v '
1 = Ae1
v '
→ A=
v ' v ' v ' =1 1 2
1
0
1
2 = Ae 2
1
2
3
v '= Ae



3 −1 1
3
3
Wegen Aex  kann A einfach mit v1,2,3 gefül t werden.
e
A−1 e =v
1= Av1
1
1
e

→ A−1= 1 −3 1
2
−5
1 =
v
v
v
2= Av 2
A−1 e2=v2
1
2
3
e = Av
−1
4
−1



3
3
A−1 e3=v3
[email protected]
9/11

Abbildung
Ü5,4.
Welche 2x2 Matrix bildet die Vektoren v1=1,v
 auf die Vektoren
2
2=21
v '
'
1 = 1 , v =3 ab?
−1
2
3
e → v
v ,v
,e
1
2
sind keine Einheitsvektoren. Es gibt also eine Matrix A, die aus e1 2 ,
v ,v
v1= Ae1 → A=v v =1 2
1
2
macht: v
1
2
2 1
2= Ae 2
e → v '
v '= Be
Ebenso mit  v ' ,v '
1
1 → B= v ' v ' = 1 3
1
2
und der Matrix B: v '
1
2
−1 3
2 = Be2
v → e → v '
1
Die Vektoren v ,v
,e
1
2
müssen jetzt zuerst mit A−1= −1 2  auf  e
3 2
−1
1
2
abgebildet werden. Danach können sie mit B zu v ' ,v '
1
2
gemacht werden:
v ' = B A−1 v
1
1
 Die Reihenfolge ist wichtig! Links von v
1.Operation

1 wird A­1 angedockt, dann B!
2.Operation
BA−1
1
1
Zusammenfassen von BA­1: C = BA−1=  1 3−1 2 = 5 −1
3 −1 3
2
−1
3 7 −5
C
v ,v
1
' ,v '
1
2
wurden durch C = 5 −1 auf v
abgebildet.
3 7 −5
1
2
Eigenwerte, Eigenvektoren, Drehmatrix
Ü7,1.
Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren einer zweidimensionalen Drehmatrix 
D. Für welche Werte von  sind die Eigenwerte reel ?
Eigenwerte
det D − E=0 ∣cos− −sin ∣=0

sin 
cos −
1 , 2=cos  ±cos2 −1
Drehwinkel
Reel e  s 
λ existieren nur, wenn cos2 −1≥0 , es folgt cos2 =1=k , k ∈ℤ
d.h. der Drehwinkel ist ein ganzzahliges vielfaches von 180°.

=−1k mit dem Drehwinkel =k , k ∈ℤ
1 , 2
D − E=−1k−−1k
0
=0 0

0
−1k−−1k
0 0
Eigenvektoren
0 0
∣0=0∣→v =
∣0
0 0  x =0∣0x0y=0
x, mit ∣v
y
0x0y=0
0=0
eig
y
eig
d.h. jeder beliebiger Vektor (ausser dem Nul vektor) ist ein Eigenvektor.
Achtung: Der Rechner gibt ein falsches Resultat aus!
[email protected]
10/11

Document Outline

  • ÿ
  • ÿ
  • ÿ
  • ÿ
  • ÿ
  • ÿ
  • ÿ
  • ÿ
  • ÿ
  • ÿ
  • ÿ
  • ÿ
  • ÿ
  • ÿ