Problema di massimo

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PROBLEMA DI MASSIMO
Si consideri il cono equilatero inscritto in una sfera di raggio r . Si conduca un piano parallelo alla base del
cono in modo che risulti massima la somma della superficie laterale del tronco di cono e del cerchio sezione
con la sfera .

CC'' = d := incognita del problema > 0 ;

CV = CB = CD' = r per ipotesi ;

C''B = ( CB - CC'' ) = ( r - d ) per il teorema di Pitagora ;

DV^D' = 60 per l'ipotesi di cono equilatero ;

DD' = 2*CD'*sin( DV^D' ) per il teorema della corda r' = ( 3/2 )*r ;

CC' = ( CD' - r' ) = ( 1/2 )*r per il teorema di Pitagora ;

C'C'' = CC' + CC'' = ( 1/2 )*r + d per costruzione ;

C'V = CC' + CV = ( 3/2 )*r per costruzione ;

r' / r'' = C'V / ( C'V - C'C'' ) per le proprieta dei triangoli simili r'' = ( 3/3 )*( r - d ) .


S_lat = *( r' + r'' )*[ C'C'' + ( r' - r'' ) ] = ( /6 )*( 2d + r )*( 5r - 2d ) ;

S_cerchio-blu = *C''B = *( r - d ) ;

S( d ) = S_lat + S_cerchio-blu = ( /6 )*( 11r + 8dr - 10d ) .


S ' ( d ) = ( 2/3 )*( 2r - 5d ) ;

S ' ( d ) = 0 d = ( 2/5 )*r ;

S '' ( d ) = - 10/3 ;

S '' ( ( 2/5 )*r ) = - 10/3 < 0 ;

S_max = S( ( 2/5 )*r ) = ( 21/10 )*r .